Ölçeklendirme ve Oranlar

Problem Tanımı

Bir grafik yalan söylemek için veriyi değiştirmek zorunda değil. Eksenin nereden başladığını seçmek yeterli.

Dört takımın maç başına xG değerleri 1.92, 1.74, 1.61, 1.48 olsun. En iyi takım en kötüsünden %30 daha iyi. Ama eksen 1.40’tan başlatıldığında çubuklar 0.52, 0.34, 0.21, 0.08 uzunluklarına düşer ve en iyi takımın çubuğu en kötüsünün 6.5 katı olur. Veri dokunulmadı; sadece sıfır silindi.

Aynı problemin üç yaygın biçimi var:

Kesik eksen — uzunlukla kodlanan veride tabanın sıfırdan kaydırılması.
Oran/fark karışıklığı — “3 puan arttı” ile “%3 arttı” ifadelerinin aynı grafikte yer değiştirmesi.
Normalize edilmemiş örneklem — 90 dakika oynayan ile 2700 dakika oynayanın aynı eksende karşılaştırılması.

Matematiksel / Mantıksal Model

Yalan katsayısı

Tufte’nin ölçütü, grafikteki efektin veridekine oranıdır:

L = \frac{\text{grafikte ölçülen efekt}}{\text{veride ölçülen efekt}}

Kesik eksenli çubuk grafikte, taban $b$ ve uç değerler $v_{\max}$ , $v_{\min}$ için bu şöyle açılır:

L = \frac{\dfrac{v_{\max} - b}{v_{\min} - b}}{\dfrac{v_{\max}}{v_{\min}}}

$b = 0$ iken $L = 1$ : grafik veriyi olduğu gibi aktarır. $b \to v_{\min}$ iken payda sıfıra gider ve $L \to \infty$ . Tufte’nin kabul aralığı:

0.95 < L < 1.05

Yukarıdaki xG örneğinde $b = 1.40$ için $L \approx 5.01$ — grafik farkı beş kat abartıyor.

90 dakikaya normalizasyon ve küçültme

Ham sayımlar oynanan süreyle karşılaştırılamaz. Standart normalizasyon:

\hat{x} = \frac{x}{m} \cdot 90

Burada $x$ ham sayım, $m$ oynanan dakika. Ama bu, düşük $m$ ‘de patlar: 90 dakikada 2 gol atan oyuncu “maç başına 2.00 gol” görünür.

Çözüm, popülasyon ortalamasına doğru küçültmektir (empirik Bayes / toplamsal düzleştirme):

\tilde{x} = \frac{x + k\,\mu_0}{\dfrac{m}{90} + k}

$\mu_0$ — popülasyonun 90 dakika başına ortalaması
$k$ — önsel gücü, “kaç maçlık hayali kanıt” olarak okunur

Etkisi asimetriktir; küçük örneklemi sertçe çeker, büyüğüne neredeyse dokunmaz. $\mu_0 = 0.35$ , $k = 5$ ile:

Oyuncu	$x$	$m$	Ham $\hat{x}$	Küçültülmüş $\tilde{x}$	Kayma
A	2	90	2.000	0.625	−69%
B	4	450	0.800	0.575	−28%
C	12	2700	0.400	0.393	−2%

A ile C’nin ham değerleri 5 kat fark ediyor; küçültülmüş değerleri 1.6 kat. İkincisi kanıtın gerçekten desteklediği fark.

Çarpımsal veride log ölçek

Büyüme, katsayı ve oran gibi çarpımsal büyüklüklerde eşit oranlar eşit mesafeye karşılık gelmelidir:

d(v_1, v_2) \propto \log v_2 - \log v_1 = \log \frac{v_2}{v_1}

Doğrusal eksende 10 → 20 ile 100 → 110 aynı mesafeyi kaplar; oysa biri iki katına çıkmış, diğeri %10 artmıştır.

Arayüz Kararları

Kodlama kanalına göre karar ver. Kural eksen tipine değil, verinin nasıl kodlandığına bağlıdır:

Kodlama	Örnek	Taban kuralı
Uzunluk / alan	Çubuk, alan, hacim	Sıfır zorunlu
Konum	Çizgi, dağılım	Kırpılabilir, ama işaretlenir
Açı	Pasta	Toplam %100 olmalı, yoksa kullanma

Kırpma işaretlenir. Çizgi grafikte eksen kırpıldığında eksen kırığı simgesi veya “eksen 1.40’tan başlıyor” notu doğrudan eksen üzerinde yer alır — dipnotta değil.

Örneklem eşiği rozeti. Payda bir eşiğin altındaysa değer soluklaştırılır ve n = 3 biçiminde işaretlenir. Sıralamalarda küçültülmüş değer kullanılır, ham değer detayda gösterilir.

Eksen aralığı doldurma. Sıfır tabanı zorunlu olduğunda üst sınır $1.05 \cdot v_{\max}$ olarak alınır; veriye “nefes payı” vermek için tabanı kaydırmak yasaktır, tavanı yükseltmek serbesttir.

Doğru / Yanlış Karşılaştırması

Aşağıdaki iki panelde veri aynı. Kaydırıcı yalnızca sol paneldeki eksenin nereden başladığını değiştirir. Yalan katsayısı canlı hesaplanır.

Kesik eksen · taban 1.40

Yalan katsayısı5.01

Sıfır tabanı

Yalan katsayısı 1.00

Taban değeri1.40 xG

Veri sabit. Değişen tek şey eksenin nereden başladığı. Tabanı 0'a çektiğinizde yalan katsayısı 1.00'e iner — Tufte'nin kabul aralığı 0.95 < L < 1.05.

Konfigürasyon düzeyinde fark tek bir satırdır:

Yanlış

// Çubuk grafikte taban veriye göre "otomatik" seçiliyor.
const eksen = {
  tip: 'cubuk',
  y: {
    // Kütüphanelerin çoğunda varsayılan bu — ve sessizce yalan söyler.
    taban: 'otomatik',        // → 1.40
    tavan: 'otomatik',
  },
};
// L ≈ 5.01 · işaret yok · okuyucu farkı 6.5x sanıyor

Doğru

// Uzunlukla kodlanan veride taban sabit.
const eksen = {
  tip: 'cubuk',
  y: {
    taban: 0,
    tavan: 1.05 * Math.max(...degerler),
  },
};
// L = 1.00 · fark %30 · okuyucu farkı %30 sanıyor

Küçük örneklemde sıralama üretirken de aynı ayrım geçerlidir:

Ham oran

const gol90 = (o) => (o.gol / o.dakika) * 90;

siralama = oyuncular.sort((a, b) => gol90(b) - gol90(a));
// 1. Oyuncu A — 2.00  (90 dk, 2 gol)
// 2. Oyuncu B — 0.80  (450 dk)
// 3. Oyuncu C — 0.40  (2700 dk)

Küçültülmüş oran

const MU0 = 0.35;  // lig ortalaması / 90 dk
const K = 5;       // önsel gücü ≈ 5 maç

const gol90 = (o) =>
  (o.gol + K * MU0) / (o.dakika / 90 + K);

siralama = oyuncular.sort((a, b) => gol90(b) - gol90(a));
// 1. Oyuncu A — 0.63  (n işaretli: 90 dk)
// 2. Oyuncu B — 0.58
// 3. Oyuncu C — 0.39

Alanlar arası karşılık

Aynı iki hata alan değiştirince isim değiştirir, biçim değiştirmez.

Kavram	Futbol	Finans / İş zekâsı	Ürün analitiği
Normalizasyon birimi	90 dakika	Çeyrek, çalışan başına	Aktif kullanıcı başına
Kesik eksen kurbanı	Takım xG çubukları	Çeyreklik gelir çubukları	Haftalık aktif kullanıcı
Küçük örneklem tuzağı	1 maçta %100 isabet	3 müşterilik segment kârlılığı	12 oturumluk A/B testi
Log ölçek gereği	Şut mesafesi–gol olasılığı	Bileşik büyüme	Kohort tutundurma eğrisi

Kesik eksenin en sık göründüğü yer yatırımcı sunumları; en az sorgulandığı yer maç yayınları. İkisinde de düzeltme aynı: uzunlukla kodluyorsan sıfırdan başla.